Datentypen float-Grenzen (?)

[Ilker]

Hallo Community,

mal ne ganz anfängerhafte Frage. In einem Buch steht

float a =–16777217F;
float b =16777216F;
float c =1F;
System.out.println( a + b + c ); // 1.0
System.out.println( a +(b + c)); // 0.0

mit der Erklärung: Mathematisch ergibt –16777217 + 16777216 den Wert –1, und –1 plus +1 ist 0. Im zweiten Fall liefert –16777217 + (16777216 + 1) = –16777217 + 16777217 = 0. Doch Java wertet a + b durch die Beschränkung von float zu 0 aus, sodass mit c addiert, also 1, die Ausgabe 1 statt 0 erscheint.

Das kam mir aber doch merkwürdig vor und ich habe es getestet und tatsächlich ergibt a + b + c "1.0" als Ergebnis. Das finde ich komisch und die Erklärung mit der "Beschränkung von float" verstehe ich auch nicht, da die float-Grenzen nach offizieller Spezifikation so aussehen:

4 bytes, IEEE 754. Covers a range from 1.40129846432481707e-45 to 3.40282346638528860e+38 (positive or negative)

Außerdem würde der negative Ast bei 2^31 spielend mit der Zahl –16777217, das bei 2^24 liegt, doch spielend zurecht kommen! Scheinbar funktionieren Gleitkommazahlen anders als ich weiß. Kann mir jemand da raushelfen? Danke!

 

[MWin123]

Stark vereinfachtes Beispiel:

Nehmen wir an du kannst 4 Bits speichern.
Die größte mögliche Zahl ist dann 1111 (15).

Nun rechnst du 1111 (15) + 1 (1) = 10000 (16).
Jedoch hast du nun eine 5 Bit Zahl, obwohl nur 4 Bits gespeichert werden können.
Daher geht das erste Bit verloren (Überlauf) und du erhälst 0000 = 0.

 

[JStein52]

Das Beispiel ist ja klar. Aber wo trifft das bei dem beschriebenen Problem zu ? Wo ist da der Überlauf ?

 

[Ilker]

Danke für die schnelle Antwort MWin!

Deine Aussagen sind natürlich richtig, allerdings hat float ganze 4 Bytes und somit übersteigt rein Bitzahlmäßig die Darstellungsmöglichkeit die Zahl 16777217 bei Weitem! Jedoch habe ich mir die Kodierung für Gleitzahlen, und speziell für float in Java, nochmal angeschaut und habe erfahren, dass sowohl das Vorzeichen (1 bit) wie auch die Mantisse (8 bit) in einen float mit aufgenommen wird (was ja auch Sinn macht). Damit reduziert sich die Bitanzahl allerdings schon auf 32 - 9 = 23. Allerdings habe ich mit 2^23 = 8388608 für den Wert ohne Mantisse und Vorzeichen ein Problem, denn die Grenze für float ist nach dem Beispiel ja 16777217 = 2^24, also woher kommt das zusätzliche Bit denn her 🙂, bzw. wo ist mein Denkfehler?

 

[JStein52]

Ich habe mir mal die drei Variablen einzeln ausgeben lassen. Ergebnis:

a: -1.6777216E7 b: 1.6777216E7 c: 1.0

 

[Ilker]

Oh cool JStein, die Idee hatte ich noch nicht, danke! 😀. Also 2^24 ist definitiv float-Grenze! Wie ich aber oben schon berechnet habe bleibt nach Abziehung von Vorzeichen (1 bit) und Mantisse (8 bit) nur noch 32 - (1 + 8) = 23 bits für die Darstellung des Zahlwertes, also müsste die float-Grenze doch bei 2^23 sein..

 

[MWin123]

Ups, mein Fehler. Dachte das wäre schon das Float Limit.


Schau dir mal http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html an.

11001011100000000000000000000000 = -16777216
11001011100000000000000000000001 = -16777218

-16777217 liegt genau dazwischen und kann daher nicht im IEEE754 Single Precision Format dargestellt werden.

 

[JStein52]

Die folgenden werte:
float a = 16777217F;
float b = 16777216F;
float c = 1F;

ergeben folgenden Output:

a: 1.6777216E7 b: 1.6777216E7 c: 1.0

Ich verstehe es gerade auch nicht.

 

[MWin123]

Beispiel in Java:

float a = -16777217F;
float b = -16777216F;
System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToRawIntBits(a)));
System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToRawIntBits(b)));
System.out.println(a == b);

11001011100000000000000000000000
11001011100000000000000000000000
true

 

[JStein52]

Ah ja. Der Link war hilfreich. Ist jetzt klar.

 

[Ilker]

Die Berechnungen im Link sind sehr interessant, nur verstehe ich die gerade noch nicht richtig. Gib da mal bitte der Reihe nach die Zahlen von 1 bis z.B. 4 ein und schau dir die binäre Darstellung an.. da sag ich mir ernsthaft WTF?? Irgendwie komm ich in die Darstellung der float-Zahlen nicht rein, vielleicht kommts noch 🙂

 

[MWin123]

Das ist halt die IEEE 754 Darstellung mit Vorzeichen, Exponent und Mantisse.

Zahl = Exponent * Mantisse
1 = 2^0 * 1
2 = 2^1 * 1
3 = 2^1 * 1,5
4 = 2^2 * 1
5 = 2^2 * 1,25

 

[JStein52]

@Ilker: du musst bei der Mantisse die Wertigkeit der einzelnen Bits beachten, ist so in einem Nebensatz versteckt !! Und die 1 ist immer implizit davor ! Deshalb ist bei allen ZweierPotenzen die Mantisse 0 (wenn ich es richtig verstanden habe)

 

[Ilker]

oooohah... abgefahren.. da muss ich mich mal reinfuchsen, wenn ich Zeit und Lust darauf habe.. wenn man diese IEEE 754 Darstellung (die sicher ganz toll ist) nicht kennt und mal mit dem Spielzeug aus deinem Link spielt kommt man nur noch mehr zur Verwunderung.. naja irgendwann 🙂

 

[Ilker]

also ich habe ja schon etwas Systematik herausgefunden, aber wild bleibt es bei mir trotzdem erstmal.
warum ist beim Exponenten z.b. die 2^0 = 1 mit der Bitbelegung 127 repräsentiert und 2^1 mit 128?
und in Verbindung mit dem Exponenten 1 (Bitbelegung 127) bekomme ich den Wert 1,5 wenn icn den obersten Bit bei der Mantisse setze. Jedes weitere Bit bei der Mantisse abwärts hälftet den 0.5 Anteil bei 1 .. also ziemlich wilde Systematik. Da muss ich erstmal nen Artikel lesen oder sowas.

 

[MWin123]

Der Exponent ist in Exzessdarstellung gespeichert, damit man auf Vorzeichen verzichten kann.
https://de.wikipedia.org/wiki/Exzesscode

Zu jedem Exponenten wird hier 127 addiert.
Daher ist 2^0 = 127
2^(-127) = 0 <-- kleinster Exponent

 

[Ilker]

Das mit dem Bias im Exponenten habe ich auch gerade nachgelesen. Die Mantisse verstehe ich noch nicht ganz, bis auf die Tatsache, dass sie zwischen 1 <= m < 2 ist und mit jedem gesetzten Bit "weiter nach unten" zu der 1 noch die Hälfte des Vorgängerwertes dazukommt (wird ja im Wikipedia-Artikel erklärt). Wie man auf diese Darstellung der Mantisse kommt muss ich mir noch zugemüte führen. Scheinbar lassen sich damit ganz toll ganz viele Gleitkommazahlen darstellen 🙂

 

[JStein52]

Ja, was da gemacht wird habe ich inzwischen verstanden aber nicht warum man das so macht ? Vielleicht hatte der zuständige Entwickler auch nur schlecht geträumt an dem Tag.

 

[MWin123]

Hast du eine bessere Idee, wie man möglichst viele verschiedene Gleitkommazahlen zwischen ~1.4E-45 und ~3.4E38 mit nur 32 Bit darstellen kann?

Mit IEEE 754 sind es 4.261.412.864 verschiedene Zahlen.

 

[JStein52]

Mit 32 Bit hast du 2^32 Kombinationsmöglichkeiten und das sind 4 GByte. (4.294.967.296 um genau zu sein.) Und die Frage ist halt was repräsentiert jede dieser Kombinationen. Ich habe da keine bessere Idee sondern mich würde einfach interessieren warum hat man sich auf genau diese Darstellung geeinigt? Kann man damit besonders einfach rechnen ? Lässt sich das in der CPU besonders gut in Hardware umsetzen ? Oder geht es nur darum möglichst viele Werte darzustellen ?

 

[MWin123]

Was repräsentiert wird ist doch klar: Gleitkommazahlen
Genauer: sign * 2^exponent * mantissa

Hier gibt es eine Anleitung, wie du selber eine Dezimalzahl in eine IEE 754 Gleitkommazahl umwandeln kannst:
https://de.wikipedia.org/wiki/IEEE_754#Beispiele

Zur Geschichte weiß ich jetzt nichts, da müsstest du selber nachschauen.

 

[JStein52]

Ja, was repräsentiert wird ist klar. Und ich weiss auch wie die Umwandlung geht. Die Frage war ja nur warum hat man genau diese Art des Exponenten gewählt, bzw. genau diesen Aufbau der Mantisse ? Aber ich muss ja nicht alles wissen 🙂🙂🙂In dem Wiki-Beitrag wird immerhin schon mal erwähnt dass damals bei dem Normungsprozess auch eine Alternative diskutiert wurde. Aber egal, ist eine rein akademische Diskussion und hier nicht von praktischer Bedeutung